Музыкальные строи: Пифагоров, Чистый, Темперированный

Начать историю о проникновении математики в музыку (и наоборот) следует, вероятно, с рассказа о находках древнегреческих учёных. Находки эти касались, главным образом, высотных соотношений между различными нотами музыкальной гаммы. Соотношения эти связываются обычно с именем Пифагора, однако ещё до его трудов людям, конечно, было известно о существовании так называемых натуральных флажолетов.

Речь идёт вот о чём: если на струнном инструменте одновременно с защипыванием струны пальцем или плектром (или возбуждении её смычком) коснуться её середины, будет слышна не основная нота, а нота, на октаву более высокая. У многих народов существовали или существуют и поныне простейшие струнные инструменты с одной струной. Восходят они, вероятно, ещё к древнейшим «поющим лукам», и, по крайней мере, на заре цивилизации инструменты эти были распространены достаточно повсеместно. Греческий вариант такого однострунного инструмента назывался «монохорд» (что, собственно, и означает ни что иное как «одна струна»).

Естественно, исполнители прекрасно знали о возможностях своего инструмента – о том, что из монохорда можно извлечь не один звук, а целый их набор. Звук будут изменяться в зависимости от того, в какой именно точке исполнитель коснётся струны пальцем. Для тех, кто не имел в своей житейской практике дела с натуральными флажолетами, следует отдельно отметить: речь здесь идёт не о фактическом «укорочении струны», какое имеет, например, место при игре на гитаре, когда часть струны ниже пальцев левой руки музыканта оказывается прижата к грифу и не участвует в образовании звука. В случае с монохордом звучит по-прежнему вся струна, полной своей длиной, однако прикосновение пальцем в определённой точке вызывает гашение колебаний в этой конкретной точке. Коснувшись середины струны вы остановите наиболее низкие, редкие её колебания, сопровождающиеся смещением средней точки относительно оси струны. Однако более частые колебания половинок струны, при которых средняя точка остаётся на месте, а струна изгибается наподобие латинской буквы S при этом не прекратятся. (Возможность разделения колебания струны на такие составные колебания, называемые модами лежит далеко за пределами возможностей нашего реферата и обсуждаются в курсе математической физики).

Итак – прикосновение к струне в её центре (когда точка прикосновения делит струну на 2 равные части) приводит к повышению звука на октаву. Если же делить струну на неравные, но кратные части можно получить и другие звуки (до тех пор, пока добротности колебательной системы, образуемой струной, инструментом, пальцем и смычком (если он есть) будет хватать для получения колебаний). Так, разделив струну в отношении 1:2 (то есть прикоснувшись к ней на расстоянии 1/3 её длины от её начала) можно вызвать звук, на дуодециму (квинту через октаву) более высокий, чем исходный. Отношение 1:3 приведёт к появлению звука, на две октавы более высокого, чем исходный, а отношение 1:4 вызовет звук, примерно соответствующий большой терции, взятой через 2 октавы от исходного. Дальнейшее смещение пальца к началу струны, по мере прохождения им кратных соотношений длины, будет приводить к появлению всё более новых звуков. Звукоряд, возникающий при таком древнейшем методе игры, называется обычно естественным звукорядом.

Чтобы рассказанное не казалось экзотикой, имеет смысл упомянуть, что натуральные флажолеты (или обертоны) вовсе не являются прерогативой одних только «поющих луков» и монохордов. Они не только достаточно обильно используются в исполнительской практике (например, в виртуозных произведениях для скрипки или гитары), но и являются единственным музыкальным «языком» таких колоритных инструментов как варган, горн (фанфара), а также техники восточного горлового пения. С тем единственным отличием, что в этих случаях речь идёт не об укорочении струны, а либо (в случае варгана и горлового пения) об изменении параметров воздушного резонатора при фиксированном возбуждающем тоне, либо (в случае фанфары) об изменении параметров возбуждения при фиксированном резонаторе с широким набором резонансных частот (распределённых, однако, по тому же «кратному», естественному закону).

Однако в течение некоторого (неопределённого и неизвестного нам времени) случайно обнаруженные в незапамятные времена соотношения деления струны на монохорде и высоты звука не были востребованы ни в исполнительской практике, ни в практике создания музыкальных инструментов. Исполнители и музыкальные мастера на протяжении долгого времени действовали интуитивно. Создание флейт и арф возможно и без точного знания параметров настройки инструмента, – и отверстия в тростниковой палочке или кости, и натяжение струн на основании можно подбирать по слуху, постепенно, отталкиваясь от каких-то внутренних представлений о необходимом звучании инструмента.

Но музыкальная культура не стояла на месте, – инструменты постепенно усложнялись и становились совершеннее, совершенствовалась и практика ансамблевого исполнения, – и потому всё более актуальным становился вопрос о настройке инструментов. Об их «состраивании» в пределах ансамбля. Вероятно, именно в этот момент уместно перейти к открытию Пифагора.

В своих работах Пифагор подытожил следующие известные факты и свои наблюдения:

1. Наиболее сложные использовавшиеся в то время в греции лады (гаммы) состояли из 7 нот.
   
2. Двигаясь по квинтам от исходной ноты наверх и возвращаясь по октавам вниз (в исходную октаву) можно получить (и даже с избытком) все ноты этих гамм.
   
3. Отношение длин частей струны (при её зажатии пальцем), необходимое для повышения звука на квинту составляет 2:3. Причём на самом деле не важно, идёт ли речь о взятии флажолета или о фактическом укорочении струны (как, например, в случае гитары или любого другого инструмента с грифом).

Из этих трёх утверждений следует простой вывод: имея в распоряжении способ построения чистых квинт можно получить полный звукоряд от любого наперёд заданного звука. Сразу объявим, что такой строй (звукоряд) называется пифагоровым строем.

В этом месте мы можем несколько отвлечься от истории вопроса и обсудить его суть. Как мы можем узнать из курса физики, частота колебаний струны обратно пропорциональна её длине (при постоянном натяжении), а потому укорочение струны в 2 раза приводит к повышению в 2 раза частоты её колебаний. Таким образом, октава от исходного звука – это всего лишь звук, в 2 раза более высокий по частоте. Аналогично, квинта – это звук с основной частотой в 3:2 большей, чем исходный, и так далее. Все находки Пифагора мы можем переформулировать из понятий длины струны в понятия частоты колебаний (что, конечно, крайней желательно, если мы вдруг заходим понять, отчего открытая органная труба звучит в два раза ниже (хотя и в два раза тише), чем закрытая).

Пифагоров строй даёт возможность построения полного звукоряда от любой заданной ноты, что, конечно, исключительно важно для совместной игры различных музыкантов. Однако он обладает одним существенным (если не катастрофическим) недостаткам. Многие ноты, как это можно узнать из курсов музыкальной гармонии, могут выступать в одной и той же мелодии (в одном и том же музыкальном произведении) в различных ипостасях. Так, строго говоря, нота «до», взятая как тоника до-мажора, и формально та же нота «до», взятая как терция параллельного ля-минора, – это разные ноты. (Грубо говоря, в сознании, во «внутреннем представлении» музыканта, им соответствуют очень близкие, но всё же разные частоты.) Пример, возможно, не самый выпуклый, однако принципиально верный.

Приведём и другой, более наглядный, хотя и менее «правильный» с дидактической точки зрения пример. Может показаться, что двигаясь по квинтам вверх и каждый раз приводя получившуюся ноту в исходную октаву, если это необходимо, мы рано или поздно (а именно – за 12 ходов) должны придти в исходную ноту. По крайней мере на клавиатуре рояля это безусловно так (можете убедиться, если не верите). Однако очевидно, что дикая дробь вида 3 n /2 n, которая будет выражать отношение частоты получившейся при этом ноты пифагорова строя к частоте исходной ноты, никак не может быть равна единице!

Пифагоров строй, таким образом, в некотором смысле незамкнут. С теоретической точки зрения это означает, что полутон «до-до#» (хроматический полутон) в пифагоровом строе больше полутона «до#-ре» (диатонический полутон) на величину 243/256-2048/2187, которая называется пифагоровой коммой. На практике же это означает, что музыкант фактически должен заранее «просчитать», какие именно ноты и в каком именно «качестве» он будет использовать при игре, так как от этого будет зависеть конкретная настройка его инструмента.

Положение дел здесь несколько более фатально, чем это может показаться на первый взгляд. Как мы уже говорили, чистая квинта соответствует отношению частот образующих её звуков 3:2. Следующий шаг в понимании природы музыкальных созвучий лежит в том, что потому, собственно, квинта и представляется нам таким «базовым» интервалом (и потому она и получила название «чистой»), что частоты звуков, её образующих, «чрезвычайно кратны», если можно так выразиться. «Чище» – только октава. При идеальной, чистой настройке, квинта совершенно лишена биений (вибрации, возникающей при смешении близких, но неравных по частоте звуков; природа этой «вибрации» (модуляции) становится понятна из формулы сложения синусов, которую можно посмотреть в любом школьном справочнике). Увлекающиеся рок-музыкой, вероятно, знают, что на электрогитаре «с глубоким драйвом» можно играть только отдельными нотами, октавами или квинтами, – любой другой аккорд или интервал немедленно превращается в равномерную «тяжёлую» звуковую грязь. И это также связано с описанной «частотной чистотой» этих избранных интервалов – октав и квинт.

Но вернёмся к настройке инструментов. Всё сказанное означает, что при игре аккордами или при ансамблевой игре все возникающие в процессе музицирования квинты будут проходить через своеобразный «контроль качества» – слушатели – и тем более сам музыкант – немедленно услышат, если какие-то из них окажутся «нечистыми». А при настройке по пифагоровому строю это непременно произойдёт. Чистыми окажутся не все возможные квинты, а лишь некоторые.

Для греческой музыки более актуальной может быть следующая формулировка той же проблемы: две гаммы одного лада (скажем, дорийского), построенные от двух последовательных нот той же гаммы имели только одну (!) общую ноту, тогда как «с точки зрения рояльной клавиатуры» таких нот должно быть 5.

Трудно сказать, насколько несовершенство пифагорова строя мешало жить самим грекам – их музыка, всё же, вряд ли предполагала долгое вслушивание в неподвижные созвучия и их подробный звуковысотный анализ. Однако дело кардинальным образом изменилось с началом средних веков, когда на арене истории появились первые инструменты с фиксированным строем – органы. Настройка инструментов по пифагорову строю весьма проста на практике, однако уже первые попытки игры на «пифагоровых» органах показали, что «враг подкрался с неожиданной стороны» и проблема ещё более зловеща, чем можно было предположить. Большая терция «пифагоровых» органов слишком «остра», напряжённа, и непригодна потому для использования в качестве терции мажорного трезвучия. Вероятно, первыми это заметили певцы хора, которые придерживались «интуитивной», чистой терции с её соотношением частот звуков 5:4. Причину напряженности пифагоровой большой терции найти не трудно. В пифагоровом строе большая терция получается посредством четырех ходов по чистым квинтам вверх и выражается отношением 64/81, что, конечно, неравно 4/5. Разница между чистой и пифагоровой большими терциями называется дидимовой коммой (и также была впервые обнаружена ещё в древней греции).

Итак, музыкальная практика и тяга ко всё более сложным гармоническим построениям пришли в противоречие с практикой создания и настройки музыкальных инструментов. Выход был, конечно, быстро найден, однако выход этот трудно назвать удовлетворительным. Чистая терция была введена в арсенал средств для «построения новых нот звукоряда» наряду с использовавшимися в пифагоровом варианте квинтой и октавой. Получившийся строй был назван «чистым». Разработку чистого строя обычно связывают с именем итальянского композитора и музыкального теоретика Джозеффе Царлино (1517-1590).

Чистый строй впервые позволил использовать мажорные и минорные гармонические аккорды (трезвучия) при игре на инструментах с фиксированной частотой звуков. В некотором смысле (хотя и с большими оговорками) Джозеффе Царлино можно даже называть «изобретателем» если не мажорного, то, по крайней мере, минорного аккорда.

Однако при использовании чистого строя возникли два вида новых принципиальных и очень значимых сложностей.

Во-первых, каждую ноту теперь можно было построить множеством различных способов – вернее, можно было построить множество «вариантов» одной и той же ноты. Это означает, что такой строй по-прежнему остаётся незамкнутым (то есть «возвращение» к той же ноте при прохождении по квинтовому кругу по-прежнему невозможно). Более того, различные гармонические «ипостаси» одной и той же ноты теперь обладали разными частотами. И хотя в пределах каждой такой «ипостаси» нота была позиционирована относительно устоев лада несравненно лучше, чем в случае пифагорового строя, разница между частотами разных «ипостасей» была весьма велика. Это означает, что музыкант при музицировании был фактически «привязан» к одной тональности. Модуляции и отклонения в другие, даже ближайшие, тональности становились невозможны, так как в них инструмент оказывался «идеально не настроен».

Например, настроив орган для игры в чистом строе ноты «до» органист не мог уже перейти в тональности «ре», так как в этих тональностях квинта тонического трезвучия, встречающаяся наиболее часто, оказывалась «волчьей квинтой», то есть квинтой с наибольшей ошибкой. Разумеется, приходилось исключать и те тональности, где эта квинта входила в доминанту и субдоминанту. Таким образом, органист не имел возможности производить даже элементарные модуляции и отклонения, т.е. переходы, в другие тональности были крайне ограничены и опасны, и это лишало музыку значительной части её выразительных средств.

Существование «волчьих квинт» на фоне «совершенной гармонии» чистого строя было, по всей видимости, особенно невыносимо. Забавный случай рассказывают о французском композиторе и теоретике музыки, страстном приверженце чистого строя, Жане Рамо (1683-1764). Однажды Рамо, желая отказаться от предлагаемой ему должности церковного органиста, намеренно выпустил из органа столько «волков», что привёл в ужас святых отцов и убедил их в своей «бесталанности». Святые отцы поспешили удалиться вместе со своими лестными предложениями.

Во-вторых, такое количество «похожих», но разных нот (около 85 в октаве) делало очень сложным игру и/или построение музыкальных инструментов. В сущности, речь при этом идёт не об одном «чистом строе», а о целой совокупности «чистых строёв», – по экземпляру для каждой базовой тональности.

Сказанное означало, что для использования чистого строя необходимо было либо увеличивать сложность музыкальных инструментов (оснащая, например, органы многими десятками нот на одну октаву и сложными системами переключения «наборов» этих нот), либо отказываться от фиксированного строя, давая музыканту возможность тонкой подстройки высот отдельных звуков. Были испробованы оба варианта: органы были чрезвычайно усложнены, а струнные инструменты долгое время не имели фиксированных ладов на грифе. Гриф или оставался совсем безладовым (как на современных смычковых), либо оснащался «передвижными ладами» из затягивающихся на его обратной стороне петель из жил животных. Петли эти можно было ослаблять и передвигать по грифу, подготавливая инструмент для игры в конкретной тональности. Можно себе представить, какого дьявольского терпения и слуха требовала полная настройка такого инструмента.

Всё сказанное заставило многих и многих музыкантов, теоретиков и композиторов искать способ построения универсального строя, свободного от описанных проблем. Однако привычка к использованию весьма благозвучных чистых квинт и терций долгое время сдерживала этот процесс. Ведь как теперь уже практически очевидно, построить универсальный строй и одновременно сохранить чистоту базовых интервалов невозможно. Можно только распределить ошибку, расхождение между нашими интуитивными представлениями о музыкальных интервалах и суровой реальностью более-менее равномерно по музыкальной гамме, что и было сделано позднее в темперированном строе. Выгнать «волков» из органа, то есть найти закон построения нового музыкального строя, наряду с музыкантами безрезультатно пытались и математики: Кеплер, Декарт, Лейбниц, Эйлер. О теории гармонии Эйлера шутливо говорили, что она слишком музыкальна для математиков и слишком математична для музыкантов.

Решение проблемы пришло, видимо, с неожиданной стороны – с дальнего востока, где в музыке использовались другие гармонические соотношения и где, возможно, «наркотическая зависимость» музыкантов от чистых квинт и терцией была не столь сильной.

Хотя еще в древней Греции Аристоксен (354-300) проводил расчеты равномерной темперации музыкальных интервалов, исторической преемственности между его исследованиями и современным равномерно темперированным строем не существует. Кроме того, сами формы этих темпераций различны. Аристоксен предлагал производить равномерную темперацию полутоновых интервалов внутри ступеней тетрахорда, построенного по принципам пифагорова строя. Современная темперация подразумевает построение равномерной шкалы всех полутоновых интервалов 12-ступенного музыкального звукоряда.

Подлинным изобретателем подобной темперации следует признать китайца Чжу Цзай Юя (р.1536), который был принцем династии Мин, имевшим страсть к занятиям музыкой, математикой и астрономией. После приблизительно тридцати лет тщательного изучения и экспериментирования им была разработана математическая основа построения равномерно темперированного музыкального строя. Для длины струны и флейты он предлагал ряд ступеней, строящихся на величине, равной корню двенадцатой степени из двух, а для диаметра флейты – корню двадцать четвертой степени из двух.

После того как Чжу Цзай Юй опубликовал свое изобретение в 1584 г., то не китайцы, а европейцы прежде всего обратили на него внимание. Это было время, когда налаживался контакт между Китаем и Европой, и, видимо, каким-то образом идея равномерной темперации проникла на Запад. Первое упоминание о ней появилось в неопубликованных бумагах великого математика Симона Стевина (1548-1620). В 1636 г. сведения о равномерной темперации были изданы французским монахом-миноритом, теологом, физиком и музыкальным теоретиком Мареном Мерсенном (1588-1648) в его книге под названием «Всеобщая гармония» («Harmonie Universelle»). К концу века темперированный строй исследовал немецкий музыкальный теоретик и акустик Андреас Веркмейстер (1645-1706), которому часто и приписывается его изобретение, а в 1722 г. публикуется эпохальная работа И.С. Баха «Хорошо темперированный клавир» («Das Wohl-temperierte Klavier»), в которой были представлены первые музыкальные произведения (прелюдии и фуги) в темперированном строе.

Следует отметить, что к этому моменту уже были опубликованы основные работы по теории логарифмов, поэтому темперированный строй воспринимался как настоящий триумф прогресса – и, в первую очередь, математики.

Публикация ХТК (хорошо темперированного клавира) положила начало распространению равномерной темперации в мире. Равномерный темперированный строй был с воодушевлением принят теми, кто понимал практические преимущества такого строя. Ведь равномерная темперация позволяет легко совершать переход из тональности в тональность. С другой стороны, равномерная темперация всегда имела (и до сих пор имеет) большое количество противников, не без основания придающих большое значение чистоте тона. Тем не менее, сейчас уже можно утверждать, что равномерная темперация одержала окончательную победу, заняв главенствующие положение в европейской музыке в течение 18-19 веков, так что теперь на ней основывается вся современная музыка.